Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=．
（1）如圖1，若以點A為圓心、r為半徑的⊙A與BC相切于點D，求r．
（2）如圖2，若⊙A的半徑r=1，點O在BC上運動（點O與B、C不重合），設BO=x，△AOC的面積為y．①求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．
②如圖2，以點O為圓心，BO長為半徑作圓，當⊙O與⊙A相切時，求△AOC的面積．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=4，
∵⊙A與BC相切于點D，
∴AD=r，AD⊥BC，
∴AD為BC邊上的中線，
∴r=AD==2，

（2）①作AD⊥BC于點D，
∵△ABC為等腰直角三角形，BC=4，
∴AD為BC邊上的中線，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面積為y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②過O點作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半徑為1，OB=x，
當兩圓外切時，
∴OA=1+x，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面積=y=4-x，
∴△AOC面積=；
當兩圓內切時，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面積=y=4-x=4-=，
∴△AOC面積為或．
分析：（1）由題意即可推出△ABC為等腰直角三角形，AD⊥BC，由AB=AC=2，根據(jù)勾股定理即可推出BD=4，即可推出AD=BD=CD=2；
（2）①②圓O與圓A相切是一個特殊位置關系，找出其特點：當兩圓外切時，OA=1+x，現(xiàn)有的條件沒有辦法作的時候，就要自己創(chuàng)建一個：過O點作OE⊥AB交AB于E，根據(jù)題意∠B=45°，所以BE=OE=，在△AEO中 AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，推出（1+x）²=（2-）²+（）²，求出x=，由①的結論可知△AOC面積=y=4-x，即可推出△AOC的面積；當兩圓內切時，OA=x-1，然后把OA代入到 AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，即可推出x的值，即可推出△AOC面積．
點評：本題主要考查切線的性質、勾股定理的運用、相切圓的有關性質等知識點，解題關鍵在于根據(jù)題意推出y關于x的函數(shù)關系式，在（2）中，求△AOC的面積時，注意分情況進行分析，根據(jù)勾股定理，列出關于x的方程，求出x．