Question

如圖，已知銳角△ABC的邊BC的長(zhǎng)為6，面積為12，PQ∥BC，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，四邊形RPQS為正方形（RS與A在PQ的異側(cè)），其邊長(zhǎng)為x，正方形RPQS與△ABC的公共面積為y．
（1）當(dāng)正方形RPQS的邊RS恰好落在BC上時(shí)，求邊長(zhǎng)x．
 
（2）當(dāng)RS不落在BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍．（可以將圖形畫(huà)在備用的圖形中）

（3）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)RS落在BC上時(shí)，先求△ABC的BC邊上的高，由△APQ∽△ABC，利用對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求出x；
（2）分為當(dāng)RS落在△ABC的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況，當(dāng)RS在△ABC的外部時(shí)，由相似得公共部分的長(zhǎng)、寬表示面積，當(dāng)RS在△ABC的內(nèi)部時(shí)，正方形面積即為公共部分面積；
（3）根據(jù)（1）（2）所求函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量取值范圍分別求最大值，比較得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)△ABC的高為h，
∵△ABC的邊BC的長(zhǎng)為6，面積為12，
∴

1

2

×h×BC=12，
∴h=4，
則△APQ的高=h-x=4-x，
∵PQ∥BC，四邊形RPQS為正方形（RS與A在PQ的異側(cè)），
∴△APQ∽△ABC，
∴

4-x

4

=

x

BC

，即

4-x

4

=

x

6

，
解得x=2.4．
答；當(dāng)正方形RPQS的邊RS恰好落在BC上時(shí)，邊長(zhǎng)x為2.4；

（2）中RS不落在BC上意味著RS可以落在三角形的內(nèi)部或外部?jī)煞N情形．
①當(dāng)RS落在三角形內(nèi)時(shí)，如圖（1），
y=x²(0＜x≤

12

5

)
當(dāng)RS落在三角形外時(shí)，如圖（2），
過(guò)A作AE⊥BC于E交PQ于D，
同上　設(shè)PQ=x，則

AD

AE

=

PQ

BC

，

AD

4

=

x

6

，
∴AD=

2

3

x，
∴DE=4-

2

3

x，
∴y=-

2

3

x2+4x(

12

5

＜x≤6)；

（3）①當(dāng)RS落在△ABC外部時(shí)，
y=-

2

3

x2+4x=-

2

3

(x2-6x)=-

2

3

(x-3)2+6，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值是6；
②當(dāng)RS落在BC邊上時(shí)，由x=

12

5

可知，y=

144

25

，
③當(dāng)RS落在△ABC內(nèi)部時(shí)，y=x²（0＜x＜

12

5

）
故比較以上三種情況可知，公共部分面積最大為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在求長(zhǎng)方形面積中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示長(zhǎng)方形的面積，再根據(jù)自變量的取值范圍及二次函數(shù)的最值求法求解，本題還考查了分類(lèi)討論的教學(xué)思想．總之，這是一道非常典型的題目．