Question

如圖，正方形ABCD中，AC為對角線，E、F分別是邊AB、AD上的兩點，且CE=CF．
（1）求證：AE=AF；
（2）若tan∠ACF=

1

2

，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析：（1）先證出△EBC≌△EFC，再證出△AFC≌△AEC，即可證出AE=AF；
（2）作EG⊥AC，構造直角三角形，設出EG的長，再根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出△EBC的各邊長．

解答：解：（1）在Rt△EBC和Rt△FDC中，
CE=CF，CD=CB，
所以△EBC≌△EFC，
所以∠BEC=∠DFC，
所以∠AEC=180°-∠BEC，
∠AFC=180°-∠DFC，
于是∠AEC=∠AFC，
又因為∠EAC=∠FAC，AC=AC，
所以△AFC≌△AEC，
所以AE=AF．

（2）連接BG．
設EG=x，則AG=x．
因為∠ACF=∠ACE，
所以tan∠ACF=tan∠ACE=

1

2

，
所以GC=2x，
AC=x+2x=3x．
根據(jù)勾股定理，AE=

x2+x2

=

2

x，
AB=BC=AC•cos45°=3x•

2

2

=

3 2

2

x．
故EB=AB-AE=

3 2

2

x-

2

x=

2

2

x．
則tan∠BCE=

EB

BC

=

2 2 x

3 2 2 x

=

1

3

．

點評：此題考查了正方形的性質、解直角三角形和勾股定理等知識，綜合性較強，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．