Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸的交點(diǎn)為B（0，1），且b=-4ac．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出此時圓的圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過B點(diǎn)，由b=-4ac可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入解出系數(shù)，從而求出拋物線表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出C點(diǎn)，作CD⊥x軸于D，連接AB、AC，可證三角形相似，根據(jù)相似比例，求出C點(diǎn)，再作輔助線，利用圓及梯形OBCD的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由第二問結(jié)論，設(shè)出B，P，C點(diǎn)代入公式就可找到關(guān)系．

解答：解：（1）將B（0，1）代入y=ax²+bx+c中，得c=1．
又∵b=-4ac，頂點(diǎn)A（-

b

2a

，0），
∴-

b

2a

=

4ac

2a

=2c=2．
∴A（2，0）．（2分）
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0，
∴

b=-4a 4a+2b+1=0

解得a=

1

4

，b=-1，
故拋物線的解析式為y=

1

4

x²-x+1．（4分）

（2）假設(shè)符合題意的點(diǎn)C存在，其坐標(biāo)為C（x，y），作CD⊥x軸于D，連接AB、AC．
∵A在以BC為直徑的圓上，
∴∠BAC=90°．
∴△AOB∽△CDA，
∴OB•CD=OA•AD，
即1•y=2（x-2），
∴y=2x-4，（6分）
由

y=2x-4 y= 1 4 x2-x+1

，
解得x₁=10，x₂=2．
∴符合題意的點(diǎn)C存在，且坐標(biāo)為（10，16），或（2，0），（8分）
∵P為圓心，
∴P為BC中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（10，16）時，取OD中點(diǎn)P₁，連PP₁，則PP₁為梯形OBCD中位線，
∴PP₁=

1

2

（OB+CD）=

17

2

．
∵D（10，0），
∴P₁（5，0），
∴P₂（5，

17

2

）．
當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）時，取OA中點(diǎn)P₂，連PP₂，則PP₂為△OAB的中位線．
∴PP₂=

1

2

OB=

1

2

，
∵A（2，0），
∴P₂（1，0），
∴P（1，

1

2

）．
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，

17

2

），或（1，

1

2

）．（10分）

（3）設(shè)B、P、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為B（x₁，y₁），P（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由（2）可知：
x2=

x1+x3

2

，y2=

y1+y3

2

．（12分）

點(diǎn)評：此題還是考拋物線的性質(zhì)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，第二問探究存在性問題，充分利用圓和梯形的性質(zhì)，綜合性性較強(qiáng)，第三問利用第二問的結(jié)論，要看清題意．