Question

（2012•玉林）如圖，已知點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)D，連接AE．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關(guān)系，并求當(dāng)AE=EC時(shí)tanC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進(jìn)而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進(jìn)而可得出∠1=∠2；
（2）由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠AEO=∠EOC，因?yàn)椤?=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；當(dāng)AE=CE時(shí)，∠1=∠C，再根據(jù)2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值得出tanC即可．

解答：（1）證明：連接OE，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）解：∠C=90°-2∠1，tanC=

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∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠1+∠AEO=∠EOC，
∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，
∴∠C=90°-2∠1，
當(dāng)AE=CE時(shí)，∠1=∠C，
∵2∠1+∠C=90°
∴3∠C=90°，∠C=30°
∴tanC=tan30°=

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時(shí)要熟知“若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系”．