Question

如圖，已知直線y=

1

4

x，與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．

（1）求k的值及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求△AOC的面積；
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，試寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，所以把x=4代入y=

1

4

x得y=1，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入•反比例函數(shù)解析式可求出k的值；然后利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S_△OCD=S_△OAE=

1

2

×4=2，再利用S_△OCD+S_梯形CDEA=S_△OAE+S_△AOC，得到S_△AOC=S_梯形CDEA，然后根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算；
（3）分類討論：當(dāng)OC=OP時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在P₁或P₂的位置；當(dāng)CO=CP時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在E點(diǎn)的位置；當(dāng)PO=PC時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，然后根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把x=4代入y=

1

4

x得y=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
把A（4，1）代入y=

k

x

得k=4×1=4，
∵直線y=

1

4

x與雙曲線y=

4

x

的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-1）；

（2）作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，如圖，
把x=2代入y=

4

x

得y=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴S_△OCD=S_△OAE=

1

2

×4=2，
∵S_△OCD+S_梯形CDEA=S_△OAE+S_△AOC，
∴S_△AOC=

1

2

（1+2）（4-2）=3；

（3）∵C（2，2）
∴OC=2

2

，
當(dāng)OC=OP時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在P₁或P₂的位置，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

2

，0）或（2

2

，0）；
當(dāng)CO=CP時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在E點(diǎn)的位置，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)PO=PC時(shí)，△OCP是等腰三角形，即P點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

2

，0）、（-2

2

，0）、（4，O）、（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和等腰三角形的判定與性質(zhì)．