Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，連接EF．EF與AD交于G．
（1）試猜想AD與EF的位置關系，并證明你的結論．
（2）如果E、F分別是AB、AC邊上的中點，（1）中的結論仍然成立嗎？如果不成立請說明理由，如果成立請證明你的結論．

Answer 1

（1）AD垂直平分EF，
證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分線，
∴AD垂直平分EF．

（2）當E、F分別是AB、AC邊上的中點，（1）中的結論不成立，
理由是：
∵E、F分別是AB、AC中點，
∴EF∥BC，
而AD平分∠BAC，不一定垂直于BC，
∴EF和AD不垂直，也不平分，
即當E、F分別是AB、AC邊上的中點，（1）中的結論不成立．
分析：（1）利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，得到△AED≌△AFD，可知AE=AF，根據(jù)線段垂直平分線性質得出即可．
（2）根據(jù)三角形中位線和平行線的性質得出即可．
點評：本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質及三角形全等的判定及性質，主要考查學生的推理能力．