Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．
（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；
（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；
（2）類似（1）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．

解答：解：（1）DE+DF=CG．
證明：連接AD，
則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即

1

2

AB•CG=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）當(dāng)點D在BC延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立，但有DE-DF=CG．
理由：連接AD，則S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即

1

2

AB•DE=

1

2

AB•CG+

1

2

AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理當(dāng)D點在CB的延長線上時，則有DE-DF=CG，說明方法同上．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在解決一題多變的時候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計算同一個圖形的面積，來進(jìn)行證明結(jié)論的方法，是非常獨特的，也是一種很好的方法，注意掌握應(yīng)用．