Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)P在梯形內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，則△CPD的最小面積是

3-

2

．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)O作OE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E，OE交⊙O 于P，則△PCD就是所求的三角形，連接OC、OD，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．易求得△OCD的面積與CD的長(zhǎng)，繼而求得OE的長(zhǎng)，則可求得PE的長(zhǎng)，繼而求得△CPD的最小面積．

解答：解：過點(diǎn)O作OE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E，OE交⊙O 于P，則△PCD就是所求的三角形，連接OC、OD，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BFD=90°，
∴四邊形ABDF是矩形，
∴BF=AD，DF=AB，
∵BC=2AB=2AD=4，
∴AD=AB=2，
∵以AB為直徑作⊙O，
∴OA=OB=1，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

×（2+4）×2=6，S_△OAD=

1

2

OA•AD=

1

2

×1×2=1，S_△OBC=

1

2

OB•BD=

1

2

×1×4=2，
∴S_△ODC=S_梯形ABCD-S_△OAD-S_△OBC=6-1-2=3，
在Rt△DFC中，CF=BC-BF=4-2=2，DF=AB=2，
∴CD=

DF2+CF2

=2

2

，
∵S_△OCD=

1

2

CD•OE=3，
∴OE=

3

2

2

，
∴PE=OE-OP=

3

2

2

-1，
∴S_△CPD=

1

2

CD•PE=

1

2

×2

2

×（

3

2

2

-1）=3-

2

．
故答案為：3-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是找到符合題意的P點(diǎn)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．