Question

（1）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．
①求證：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．
（2）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩個工廠了解情況，獲得如下信息：
信息一：甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用10天；
信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．
根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品．

Answer 1

（1）①證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；

（2）解：設(shè)甲工廠每天能加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，
根據(jù)題意得，-=10，
解得x=40，
經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解，并且符合題意，
1.5x=1.5×40=60，
答：甲、乙兩個工廠每天分別能加工40件、60件新產(chǎn)品．
分析：（1）①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBD全等即可；
②先根據(jù)等腰直角三角形的銳角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠BCD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余其解即可；
（2）設(shè)甲工廠每天能加工x件產(chǎn)品，表示出乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，然后根據(jù)甲加工產(chǎn)品的時間比乙加工產(chǎn)品的時間多10天列出方程求解即可．
點評：本題（1）考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題；（2）考查了分式方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系為兩工廠的工作時間的差為10天是解題的關(guān)鍵．