Question

如圖1，拋物線y=a（x-2）²-2的頂點(diǎn)為C，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=

1

2

（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使得以O(shè)、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，求所有的符合條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，將（1）中的拋物線平移，使其頂點(diǎn)在y軸的正半軸上，在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得平移后的拋物線上的任意一點(diǎn)P到x軸的距離與P點(diǎn)到M的距離相等？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由拋物線的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×

1

2

=1，則 A（1，0）、B（3，0）．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
0=a（1-2）²-2，則 a=2；
∴拋物線的解析式：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6．

（2）假設(shè)存在符合條件的D點(diǎn)．
連接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2

2

；tan∠HBC=2，BC=

5

．
①當(dāng)OB∥CD₁、OD₁=BC時，如右圖；
點(diǎn)D₁的橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與BH長相同，則點(diǎn)D₁（1，-2）．
②當(dāng)OD₂∥BC、OC=BD₂時；
tan∠D₂OB=tan∠HBC=2，則 直線OD₂：y=2x；
設(shè)點(diǎn)D₂（x，2x），則：BD₂=

(x-3)2+(2x-0)2

=

5x2-6x+9

，
由OC=BD₂得：2

2

=

5x2-6x+9

，解得：x=

1

5

，x=1（舍）
即點(diǎn)D₂（

1

5

，

2

5

）．
③當(dāng)OC∥BD₃、OD₃=BC時；
∠D₃BO=∠HOC=45°，即tan∠D₃BO=1，可設(shè) B（x，3-x）；
由OD₃=BC=

5

，得：
x²+（3-x）²=5，解得 x=2，x=1（舍）
即點(diǎn)D₃（2，1）．
綜上可知，存在符合條件的點(diǎn)D，且坐標(biāo)為：（1，-2）、（

1

5

，

2

5

）、（2，1）．

（3）設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=2x²+m，那么其頂點(diǎn)為（0，m），若存在符合條件的點(diǎn)M，則M（0，2m）；（m＞0）
設(shè)P（x，2x²+m），則：
PM²=（x-0）²+（2x²+m-2m）²=x²+4x⁴-4mx²+m²，P到x軸的距離：2x²+m；
依題意有：x²+4x⁴-4mx²+m²=（2x²+m）²，解得：m=

1

8

．
∴存在符合條件的點(diǎn)M，且坐標(biāo)為 M（0，

1

4

）．