Question

如圖1，中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、分別在線段、上，且使得四邊形是矩形．設(shè)的長(zhǎng)為，矩形的面積為，已知是的函數(shù)，其圖象是過點(diǎn)（12，36）的拋物線的一部分（如圖2所示）．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大，并求出最大值．

為了解決這個(gè)問題，孔明和研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)作了如下討論：

張明：圖2中的拋物線過點(diǎn)（12，36）在圖1中表示什么呢？

李明：因?yàn)閽佄锞�上的點(diǎn)是表示圖1中的長(zhǎng)與矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么，（12，36）表示當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)與矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

趙明：對(duì)，我知道縱坐標(biāo)36是什么意思了！

孔明：哦，這樣就可以算出，這個(gè)問題就可以解決了.

    請(qǐng)根據(jù)上述對(duì)話，幫他們解答這個(gè)問題.

圖1                                                                              圖2

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，  ∴，

又在中，，∴   ∴  ∴   

（2）解法一：若 ，則，，∴，整理得                                      

∴ 當(dāng)時(shí)，.                                

解法二：由，結(jié)合圖象可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0）、（16，0）、（12，36），可設(shè)拋物線解析式為，將（12，36）代入求得，∴，整理得，∴ 當(dāng)時(shí)，.       

解法三：由，結(jié)合圖象可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0）、（16，0），知拋物線對(duì)稱軸為，∴拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.∴當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，此時(shí)，，∴，∴最大面積為48.