Question

觀察下列各式：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1…
（1）根據(jù)上面各式的規(guī)律得：（x-1）（x^m-1+x^m-2+x^m-3+…+x+1）=________；（其中n為正整數(shù)）；
（2）根據(jù)這一規(guī)律，計(jì)算1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶⁸+2⁶⁹ 的值．

Answer 1

解：（1）（x-1）（x^m-1+x^m-2+x^m-3+…+x²+x+1）=x^m-1；
（2）根據(jù)上面的式子可得：1+x+x²+x³+…+xⁿ=（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1），
∴1+2+2²+…+2⁶⁸+2⁶⁹=（2⁶⁹⁺¹-1）÷（2-1）=2⁷⁰-1．
分析：（1）認(rèn)真觀察各式，等式右邊x的指數(shù)比左邊x的最高指數(shù)大1，利用此規(guī)律求解填空；
（2）先根據(jù)上面的式子可得：1+x+x²+x³+…+xⁿ=（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1），從而得出1+2+2²+…+2⁶⁸+2⁶⁹=（2⁶⁹⁺¹-1）÷（2-1），再進(jìn)行計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平方差公式，認(rèn)真觀察各式，根據(jù)指數(shù)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．