Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．以BD為直徑作圓O，交邊AB于點(diǎn)P，連接PC，交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：AD是圓O的切線(xiàn)；
（2）若PC是圓O的切線(xiàn)，BC=8，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明AD是圓O的切線(xiàn)，只要證明∠BDA=90°即可；
（2）連接OP，根據(jù)三角函數(shù)可求得PC，CD的長(zhǎng)，再在RT△ADE中利用三角函數(shù)求得DE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BD．
又∵BD是圓O直徑，
∴AD是圓O的切線(xiàn)．

（2）解：連接OP，
由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，
∵PC是圓O的切線(xiàn)，O為圓心，
∴∠OPC=90°．
由勾股定理，得PC=4

2

，
在△OPC中，tan∠OCP=

OP

CP

=

2

4

，
在△DEC中，tan∠DCE=

DE

DC

=

2

4

，DE=DC•

2

4

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的判定及綜合解直角三角形的能力．