Question

(本題10分)如圖 ，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0,1），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（-3,0）；P、Q分別是軸和直線AB上的一動(dòng)

點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持QA=QP；△APQ沿
直線PQ翻折得到△CPQ，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C.
（1）求直線AB的解析式．
（2）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)C恰好落在直線AB
上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，
請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）設(shè)直線AB的解析式為，則--------------------2分
解得，即----------------------------------------------1分
（2）分三種情況考慮下
第一種情況（如圖甲）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A,Q,C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.
根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t+1，t）.
∵點(diǎn)C落在直線AB上，
∴，解得.即P的坐標(biāo)為（2，0）. --------------------------3分
第二種情況（如圖乙）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A,Q,C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP, △CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形.
根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-1，-t）.
∵點(diǎn)C落在直線AB上，∴，解得.
即P的坐標(biāo)為（，0）. -------------------------------------------------3分
第三種情況（如圖丙）：
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，Q恰好是線段AB的中
點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C與點(diǎn)A重
合，但A，P，Q三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，
故不符合題意. ------------------------------1分

解析