Question

閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
根據(jù)該材料解題：
關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數(shù)根．
①求k的取值范圍．
②是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式得到k≠0，且△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，然后求出它們的公共部分即可得到k的取值范圍是k＞-1，且k≠0；
（2）設(shè)方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的兩根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)關(guān)系有：x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，當

1

x1

+

1

x2

=0，得到k=-2，不滿足（1）中的條件，所以不存在符合條件的k的值．

解答：解：（1）∵△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1，且k≠0；
（2）不存在符合條件的實數(shù)k．理由如下：
設(shè)方程kx²+（k+2）x+

k

4

=0的兩根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)關(guān)系有：x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
而

1

x1

+

1

x2

=0，
∴-

k+2

k

=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2時，△＜0，原方程無實解，
∴不存在符合條件的k的值．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．