Question

如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標系的原點O，且與x的正半軸，y的正半軸交于點A、B，∠OMA=60°,過點B的切線交x軸負半軸于點C，拋物線過點A、B、C.

（1）求點A、B的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點D為拋物線對稱軸上的一個動點，問是否存在這樣的點D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點D的坐標.若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 解：(1)∵⊙M為半徑1

∴AB=2

∵∠OMA=60°,

∴∠OAM=60°

∴OA=1,OB=

∴A(1,0) ,B(0, )

（2）∵AB是⊙M的切線

∴∠CBA=90°

∵∠OAM=60°

∴AC=4

∴OA=3

∴C(-3,0)

設拋物線的解析式為

把A(1,0) ,B(0, ),C(-3,0)代入得

∴       ∴

 (3).拋物線的對稱軸為x=-1

作BC的垂直平分線交拋物線于E，交對稱軸于點

易求AB的解析式為

∵是BC的垂直平分線

∴∥AB

設的解析式為

∵交x軸于（-1，0）代入解析式得b=,

∴   把x=-1代入得y=0      ∴(-1，0),

過B做BH∥x軸，則BH=1

在Rt△中，由勾股定理得=

∴（-1，）同理可求其它點的坐標。

∴符合條件的點為：（-1，）, （-1，）, (-1，0),

(-1,) ，（-1，）.