Question

如圖，直線經(jīng)過A（1，0），B（0，1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線（x＞0）上任意一點(diǎn)，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點(diǎn)E，PN的延長線與直線AB交于點(diǎn)F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：過點(diǎn)E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，
則△AOB，△FCA，△DBE為等腰直角三角形，
設(shè)P（x₀，y₀），則FC=y₀，DE=x₀，AF=y₀，BE=x₀，
∴AF•BE=y₀•x₀=2x₀y₀，
又y₀=，
即2x₀y₀=1，
∴AF•BE=1；

（2）解：平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，設(shè)l與雙曲線的唯一公共點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y），
聯(lián)立，得2x²-2bx+1=0，
由△=4b²-8=0，得b=（-舍去），
∴x=，y=，
即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）過點(diǎn)E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，將求線段AF、BE的問題轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形△FCA，△DBE中求斜邊的長，再做乘法，利用點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，列式求解；
（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線AB解析式的一次項(xiàng)系數(shù)為-1，平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，將直線l的解析式與雙曲線解析式聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)l與雙曲線的唯一公共點(diǎn)時(shí)，△=0求b的值即可．
點(diǎn)評：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．