Question

某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍，則這個(gè)自然數(shù)是

0或198

．

Answer 1

分析：分類討論，①這個(gè)數(shù)為1位數(shù)，②這個(gè)數(shù)為2位數(shù)，③這個(gè)數(shù)為3位數(shù)，④這個(gè)數(shù)為4位數(shù)，根據(jù)自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍可得出各位數(shù)字的關(guān)系，分析即可得出符合題意的數(shù)．

解答：解：①如果是1位數(shù)，則a=11a，該數(shù)為0；
②如果是2位數(shù)，則10a+b=11（a+b），10b+a=0，則該數(shù)為0，（舍去）；
③如果是3位數(shù)，則100a+10b+c=11（a+b+c）
89a=b+10c，
89a≥89，b+10c≤99，
仔細(xì)分析可得該數(shù)=198；
④如果是4位數(shù)，則1000a+100b+10c+d=11（a+b+c+d），
而1000a+100b+10c+d≥1000，11（a+b+c+d）≤11×36=396
所以等式不成立，同樣4位以上的數(shù)也不成立．
結(jié)論是符合要求的數(shù)只有0和198．
故答案為：0或198．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了多元一次不定方程的分析求解，關(guān)鍵在于注意分類討論這個(gè)數(shù)是幾位數(shù)，得出不定方程后，要注意驗(yàn)證不定方程能否成立，這也是本題的難點(diǎn)所在．