Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸x=2 與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x+7經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（5，m），且與直線x=2交于點(diǎn)E．
（1）求m的值及該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCB∽△ECB時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PB=PC？若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=2，且過(guò)O、A兩點(diǎn)，因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)直線y=-2x+7求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）可根據(jù)點(diǎn)A（4，0），B（5，-3），C（2，0）坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的右側(cè)時(shí)，進(jìn)而得出

AC

BC

=

BC

CD

，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的左側(cè)時(shí)，得出在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角，進(jìn)而得出答案．
（3）由題意可知：P點(diǎn)必為線段BC垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，可先求出線段BC的垂直平分線，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（5，m）在直線y=-2x+7上，
∴m=-5×2+7=-3，
∴B（5，-3），
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對(duì)稱軸為x=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）
設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-0）（x-4），
將點(diǎn)B（5，-3）代入上式，
得-3=a（5-0）（5-4），
∴a=-

3

5

，
∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

5

x（x-4），
即y=-

3

5

x²+

12

5

x．

（2）∵點(diǎn)A（4，0），B（5，-3），C（2，0），
∴AC=4-2=2，BC=

(5-2)2+32

=3

2

，
當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的右側(cè)時(shí)，
當(dāng)△DCB∽△ECB，
∴

AC

BC

=

BC

CD

，
即

2

3 2

=

3 2

CD

，
解得：CD=9，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（11，0），
當(dāng)點(diǎn)D在直線x=2的左側(cè)時(shí)，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，
且∠ACB＜∠DCB，
∴在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角，
即此時(shí)不存在點(diǎn)使三角形相似；
綜上所述，存在點(diǎn)D的坐標(biāo)是（11，0），使三角形相似；

（3）存在符合條件的點(diǎn)P使PB=PC，
∵C（2，0），B（5，-3），
∴∠ACB=45°，
BC垂直平分線的解析式為：y=x-5，
∴

y=x-5 y=- 3 5 x2+ 12 5 x

，
∴解得：

x1= 7+ 349 6 y1= -23+ 349 6

，

x2= 7- 349 6 y2= -23- 349 6

，
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7+ 349

6

，

-23+ 349

6

）或（

7- 349

6

，

-23- 349

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求以一次函數(shù)解析式以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法等知識(shí)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合熟練應(yīng)用函數(shù)交點(diǎn)求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．