Question

已知：一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（-1，m）和點(diǎn)A（n，0），二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M．
求：（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）∠OQM的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）把（-1，m）、（n，0）代入一次函數(shù)y=x+4中，得
m=3，n=-4，
再把（-1，3）（-4，0）代入二次函數(shù)y=x²+bx+c中，得
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式是y=x²+6x+8；

（2）∵y=x²+6x+8，如右圖，
∴此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，-1），
∵Q（-1，3），O（0，0），M（-3，-1），
∴OQ=，OM=，QM=2，
∴OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，
∴△OMQ是等腰直角三角形，
∴∠OQM=45°．
分析：（1）先把（-1，m）、（n，0）代入一次函數(shù)y=x+4中，易求m、n的值，再把Q、A點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，可得關(guān)于b、c的二元一次方程組，解即可求b、c，進(jìn)而可得二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求二次函數(shù)解析式，結(jié)合頂點(diǎn)的計(jì)算公式，易求M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，易求OQ、OM、QM的長(zhǎng)，進(jìn)而可知OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，易知△OMQ是等腰直角三角形，那么∠OQM=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式，解題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，以及熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)的計(jì)算公式、并會(huì)畫出草圖．