Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第一象限）．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BPD的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=2
∴A（-2，0）
∵A與B關(guān)于直線對(duì)稱
∴B（3，0），
由于A、B，兩點(diǎn)在拋物線上，
∴；
解得；
∴
過(guò)D作DE⊥x軸于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即x_D=y_D，
∴，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去）
∴D（2，2）；

（2）存在
∵BD為定值，
∴要使△BPD的周長(zhǎng)最小，只需PD+PB最小
∵A與B關(guān)于直線對(duì)稱，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴連接AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PA最小，
由A（-2，0），D（2，2）可得
直線AD：
令，
∴存在點(diǎn)，使△BPD的周長(zhǎng)最小

（3）存在．
（i）當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對(duì)角線時(shí)，MD∥AN，即MD∥x軸
∴y_M=y_D，
∴M與D關(guān)于直線對(duì)稱，
∴M（-1，2）
（ii）當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時(shí)，
∵平行四邊形ADNM是中心對(duì)稱圖形，△AND≌△ANM
∴|y_M|=|y_D|，
即y_M=-y_D=-2，
∴令，即x²-x-10=0；
解得，或，
綜上所述：滿足條件的M點(diǎn)有三個(gè)M（-1，2），或，-2）．
分析：（1）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱軸方程即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值；OD平分∠BOC，那么直線OD的解析式為y=x，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于BD的長(zhǎng)為定值，若△BPD的周長(zhǎng)最短，那么PB+PD應(yīng)該最短，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AD，直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）此題要分兩種情況討論：
①以AD為對(duì)角線的平行四邊形AMDN，此時(shí)MD∥x軸，則M、D的縱坐標(biāo)相同，由此可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以AD為邊的平行四邊形ADNM，由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，可據(jù)此求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，需注意的是（3）題在不確定平行四邊形邊和對(duì)角線的情況下需要分類討論，以免漏解．