Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，3)， 　　∴設(shè)拋物線解析式為　　1分 　　根據(jù)題意，得，解得 　　∴拋物線的解析式為　　2分 　　(2)存在．　　3分 　　由得，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，對(duì)稱軸為x＝1．　　4分 　�、偃粢訡D為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)勾股定理， 　　得，即y＝4－x．　　5分 　　又P點(diǎn)(x，y)在拋物線上，∴，即　　6分 　　解得，，應(yīng)舍去．∴．　　7分 　　∴，即點(diǎn)P坐標(biāo)為．　　8分 　�、谌粢訡D為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，3)． 　　∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或(2，3)．　　9分 　　(3)由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根據(jù)勾股定理， 　　得CB＝，CD＝，BD＝，　　10分 　　∴， 　　∴∠BCD＝90°，　　11分 　　設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中， 　　∵CF＝DF＝1， 　　∴∠CDF＝45°， 　　由拋物線對(duì)稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°，點(diǎn)坐標(biāo)M為(2，3)， 　　∴DM∥BC， 　　∴四邊形BCDM為直角梯形，　　12分 　　由∠BCD＝90°及題意可知， 　　以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況； 　　以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在． 　　綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)．　　13分