Question

（1999•溫州）如圖，△ABC的外接圓⊙O的直徑BE交AC于點(diǎn)D，已知弧BC等于120°，，則關(guān)于x的一元二次方程根的情況是（ ）

A．沒(méi)有實(shí)數(shù)恨
B．有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根

Answer 1

【答案】分析：BD為直徑，連接CE，構(gòu)成直角三角形．
過(guò)D點(diǎn)作DF⊥BC．在Rt△CDF中，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)；
在Rt△BCE中，因?yàn)榛�BC等于120°，可求其兩銳角分別為60°、30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求BD、DE的長(zhǎng)，代入判別式中，確定判別式的符號(hào)．
解答：解：過(guò)D點(diǎn)作DF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連接CE．
在Rt△CDF中，．
設(shè)CF=2，則DF=．
已知弧BC等于120°，BE為直徑，
所以∠E=60°，∠ECB=90°，∠EBC=30°．
在Rt△BDF中，BD=2DF=2，BF=3．
在Rt△BCE中，BC=BF+CF=5，BE==，
DE=BE-BD=．
∵△=（BD）²-4•BD•DE
=（×2）²-4×2×
=36-32=4＞0，
又x₁+x₂=BD＞0，x₁•x₂=BD•DE＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題是圓的問(wèn)題、銳角三角函數(shù)與一元二次方程根的判別式的綜合運(yùn)用，一般需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)設(shè)邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)，再用判別式判斷方程根的情況．