Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且S_△AOE=

16

3

，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求得一元二次方程的兩個(gè)根后，判斷出OA、OB長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求得AB長(zhǎng)，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），還需求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，OA之間的距離是一定的，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)可能在點(diǎn)O的左邊，也有可能在點(diǎn)O的右邊．根據(jù)所給的面積可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，把A、E代入一次函數(shù)解析式即可．然后看所求的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

解答：解：（1）解x²-7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=

OA2+OB2

=5，
∴sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

．

（2）∵點(diǎn)E在x軸上，S_△AOE=

16

3

，即

1

2

AO×OE=

16

3

，
解得OE=

8

3

．∴E（

8

3

，0）或E（-

8

3

，0）．
由已知可知D（6，4），設(shè)y_DE=kx+b，
當(dāng)E（

8

3

，0）時(shí)有

4=6k+b 0= 8 3 k+b

，
解得

k= 6 5 b=- 16 5

．
∴y_DE=

6

5

x-

16

5

．
同理E（-

8

3

，0）時(shí)，y_DE=

6

13

x+

16

13

．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=

8

3

；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵

OE

OA

=

OA

OD

，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，
所以點(diǎn)F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點(diǎn)F（3，8）．
③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-

4

3

x+4，直線L過(guò)（

3

2

，2），且k值為

3

4

（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=

3

4

x+

7

8

，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，
∴F（-

75

14

，-

22

7

），
④AF是對(duì)角線時(shí)，過(guò)C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=

24

5

，勾股定理得出，AN=

7

5

，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，AF=

14

5

，過(guò)F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=

14

5

×

3

5

=

42

25

，
∴F（-

42

25

，

44

25

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；
F₃（-

75

14

，-

22

7

）；F₄（-

42

25

，

44

25

）．

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；給定兩個(gè)點(diǎn)作為菱形的頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)可能是菱形的對(duì)角所在的頂點(diǎn)，也可能是鄰角所在的頂點(diǎn)．