Question

如圖1,若△ABC和△ADE為等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分別EB,CD的中點．

（1）易證：①CD=BE ；②△AMN是             三角形；

（2）當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,

①求證：CD=BE；

②判斷△AMN的形狀,并證明你的結(jié)論；

（3）當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,（2）中的結(jié)論是否成立？直接寫出即可,不要求證明；并求出當AB=2AD時,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）等腰直角 ；（2）證明見解析；（3）（2）中的結(jié)論成立,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比為：4：16:5.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件易得△AMN等腰直角三角形；

（2）①用SAS證明△DAC≌△EAB,易得結(jié)論；②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之間的關系易得結(jié)論；

（3）（2）中結(jié)論成立,令AD=a,求出△ADE與△ABC及△AMN的面積,再求出比值.

試題解析：（1）等腰直角

（2）① ∵ ∠DAE=∠CAB=90°

∴ ∠DAC=∠EAB

又∵ AD=AE   AC=AB

∴ △DAC≌△EAB    

∴ CD=BE；       

②△AMN是等腰直角三角形

∵ △DAC≌△EAB

∴∠CDA=∠BEA

∵ CD=BE 

∴ DM=EN

又∵ AD=AE

∴ △DAM≌△EAN

∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN

∵ ∠DAM+∠MAE=90°

∴ ∠EAN+∠MAE=90°

∴ ∠MAN=90°

∴△AMN是等腰直角三角形；

(3) 當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,（2）中的結(jié)論成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形)

設AD=a, 那么AC=2a （a≠0）

CD= a,AM=

△ADE與△ABC及△AMN的面積之比為：：：=4：16:5．

考點：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形．