Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點(diǎn)E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點(diǎn)為F．

（1）求證：OE∥AB；

（2）求證：；

（3）若,求的值.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰梯形的等腰三角形的性質(zhì)，可得∠B=∠C=∠OEC.，從而判定OE∥AB.

（2）要證明，只需證明四邊形OEHF是平行四邊形，要證明OEHF是平行四邊形，已知它有一組對邊平行，只需再說明另一組對邊平行，由已知EH⊥AB和圓切線的性質(zhì)即可得到.

（3）要求，只要證明△EHB∽△DEC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來求即可.

（1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C.

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC.

∴OE∥AB．

（2）如圖，連接OF．

∵⊙O與AB切于點(diǎn)F，∴OF⊥AB.

∵EH⊥AB，∴OF∥EH.

又∵OE∥AB，∴四邊形OEHF為平行四邊形.

∴EH=OF，∴.

（3）如圖，連接DE．

∵CD是直徑，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB.

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴.

∵，設(shè)，則，

∴. ∴.

考點(diǎn)：1.等腰梯形和等腰三角形的性質(zhì)；2.平行的判定；3.圓切線的性質(zhì)；4.圓周角定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.勾股定理.