Question

【小題1】情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線(xiàn)上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線(xiàn)段是        ，∠CAC′=          °．

【小題2】問(wèn)題探究 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線(xiàn)GA的垂線(xiàn)，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【小題3】拓展延伸 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線(xiàn)GA交EF于點(diǎn)H. 若AB=" k" AE，AC=" k" AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由

Answer 1

【小題1】AD（或A′D），90
【小題2】結(jié)論：EP=FQ.  ……………………………3分
證明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ.  ∴EP="FQ." …………………………………7分

【小題3】拓展延伸
結(jié)論：HE=HF.  ……………………………8分
理由：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.
∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .
同理△ACG∽△FAQ，∴ =.
∵AB=" k" AE，AC=" k" AF，∴ = = k，∴ . ∴EP="FQ."
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE="HF" …………………12分

解析