Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經(jīng)過點A，并與BC交于點D．
（1）判斷直線CA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=4

3

，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由AB=AC，則∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，從而得出∠OAC=90°，則直線CA與⊙O相切；
（2）連接AD，過點D作DE⊥AC，過點O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面積，再減去扇形AOD和△AOB的面積即可．

解答：解：（1）連接OA，∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠B=30°，
∴∠C=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴直線CA與⊙O相切；

（2）連接AD，過點D作DE⊥AC，過點O作OF⊥AB，
∵AB=4

3

，
∴AD=OA=OB=OD=4，
∵∠DAE=30°，
∴DE=2，
∴△ABC面積12

3

，
扇形AOD面積

8

3

π，
△ABO面積4

3

，
∴陰影面積8

3

-

8

3

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的計算，要熟練掌握扇形的面積公式，是解題的關(guān)鍵．