Question

如圖1，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm 的半圓O．兩點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)的B時(shí)間為t（s），其中1≤t＜2．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF和BC平行？
（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明原因．
（3）如圖2，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，也請(qǐng)說(shuō)明理由，并求AP：PC的值．
變式：如圖3，若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)E與圓O相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F，設(shè)EB=x，F(xiàn)D=y．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）是否存在切線EF，把正方形ABCD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？若存在，求出x的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）線段EF和BC平行時(shí)，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）當(dāng)EF與半圓O相切時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)，作輔助線如圖，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)就可以求出其t的值．
（3）當(dāng)1≤t＜2時(shí)，△AEP∽△CFP，就可以求出點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化AP：PC=AE：CF，而AE：CF是個(gè)定值為

1

2

．
變式（1），當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長(zhǎng)線上在Rt△EHF中；當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí)，在Rt△EHD中；當(dāng)F點(diǎn)在DC上，在Rt△EHF中；運(yùn)用切線的性質(zhì)及勾股定理建立等量關(guān)系就可以求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）假設(shè)EF把正方形周長(zhǎng)分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，從而得出2-x+2+y=x+2+2-y，可以求出x與y的關(guān)系，代入圖3的解析式就可以求出其值．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t s時(shí)，有EF和BC平行．
則BE=t，DF=2t-2．
∴t=4-2t．
解得t=

4

3

．
∴當(dāng)t=

4

3

s時(shí)，線段EF和BC平行．

（2）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF與半圓相切．
作OM⊥EF于點(diǎn)M，ON∥CF交EF于點(diǎn)N，KF∥BC交AB于點(diǎn)K，如圖2．則
OM=1，BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，ON=

1

2

[t+（4-2t）]=2-

1

2

t．
在Rt△OMN中，MN²=ON²-OM²=4t²-8t+3．
∵△OMN∽△FKE，∴

OM2

MN2

=

KF2

EK2

，
將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式并整理，得2t²-4t+1=0
解得t=

2± 2

2

．
∵1＜t＜2，∴t=

2+ 2

2

．
∴當(dāng)t=

2+ 2

2

s時(shí)，線段EF與半圓相切．

（3）當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化．
證明：設(shè)1≤t＜2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF位置如圖
則BE=t，AE=2-t，CF=4-2t
∴

AE

FC

=

2-t

4-2t

=

1

2

又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP
∴

AP

PC

=

AE

FC

=

1

2

，即點(diǎn)P的位置與t的取值無(wú)關(guān)．
∴當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化，且AP：PC的值為

1

2

．
變式題答案：

（1）如圖（1），當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長(zhǎng)線上，過(guò)E作EH⊥DC，交DC于F點(diǎn)，易證EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，
在Rt△EHF中，由勾股定理得EH²+FH²=EF²，
即2²+（y+2-x）²=（x+2+y）²，
整理得xy+2x-1=0，
∴y=

1-2x

x

∵1-2x＞0
∴x＜

1

2

∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為y=

1-2x

x

（0＜x＜

1

2

）
如圖（2），當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí)，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，
∴DH=DC-HC=2-x，
即在Rt△EHD中，ED²=EH²+HD²，
∴（x+2）²=2²+（2-x）²，
解得x=

1

2

，
如圖（3），當(dāng)F點(diǎn)在DC上，在Rt△EHF中，
由勾股定理得EH²+FH²=EF²，
即2²+（y-2+x）²=（x+2-y）²，
整理得xy=2x-1，
∴y=

2x-1

x

，
∵2x-1＞0，
∴x＞

1

2

，
∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為y=

2x-1

x

（

1

2

＜x＜2）；

（2）如圖（3），假設(shè)EF把正方形周長(zhǎng)分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，
∴2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y
由上面可知，y=

2x-1

x

=x，解得x=1，
∴存在切線EF，把正方形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，此時(shí)x=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直線與圓的位置的關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．