Question

已知二次函數(shù)y=

3

4

x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）填空：b=

 

，c=

 

；
（2）如圖，點(diǎn)Q從O出發(fā)沿x軸正方向以每秒4個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從B出發(fā)沿線段BC方向以每秒5個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H．
①求線段QH的長(zhǎng)（用含t的式子表示），并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入所求拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．
（2）①此題應(yīng)先求出PQ∥y軸，即Q、H重合時(shí)t的值，此時(shí)OQ+BH=4，即8t=4，t=

1

2

；
1、當(dāng)點(diǎn)Q在線段OH上時(shí)，即0≤t≤

1

2

時(shí)，可分別表示出OQ、BH、OH的長(zhǎng)，由QH=OH-OQ即可求得QH的值；
2、當(dāng)點(diǎn)Q在線段BH上時(shí)，即

1

2

≤t≤1時(shí)，方法同1；
②此題也應(yīng)分兩種情況：
1、當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，易求得OC、OQ、QH、PH的值，若以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似，那么兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例，即OQ：OC=PH：QH或OQ：OC=QH：PH，可根據(jù)個(gè)不同的比例關(guān)系式求出t的值；
2、當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，方法同1．

解答：解：（1）由題意可得：

3 4 -b+c=0 c=-3

；
解得：b=-

9

4

，c=-3．

（2）由（1）知拋物線的解析式為：y=

3

4

x²-

9

4

x-3，則B（4，0）；
故OB=4，OC=3，BC=5；
當(dāng)PQ∥y軸，即Q、H重合時(shí)，BH+OQ=OB=4；
∵BP=5，且cos∠OBC=

4

5

，
∴BH=4t；
故4t+4t=4，即t=

1

2

．
①當(dāng)0≤t≤

1

2

時(shí)，點(diǎn)Q在線段OH上，由于OQ=4t，BH=4t，OH=4-4t；
故QH=OH-OQ=4-8t；
當(dāng)

1

2

≤t≤1時(shí)，點(diǎn)Q在線段BH上，故QH=OQ-QH=8t-4；
②假設(shè)存在符合條件的t值；
當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，OQ=4t，PH=3t，OC=3，QH=4-8t；
由于以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似，則：
1、

PH

QH

=

OC

OQ

，即

3t

4-8t

=

3

4t

，t²+2t-1=0，解得t=

2

-1或

2

+1＞1（舍去）；
2、

PH

QH

=

OQ

OC

，即

3t

4-8t

=

4t

3

，32t²=7t，解得t=0（舍去），t=

7

32

；
當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，OQ=4t，PH=3t，OC=3，QH=8t-4；
同上可得：
1、

PH

QH

=

OC

OQ

，即

3t

8t-4

=

3

4t

，t²-2t+1=0，解得t=1；
2、

PH

QH

=

OQ

OC

，即

3t

8t-4

=

4t

3

，32t²=25t，解得t=0（舍去），t=

25

32

；
綜上可知：當(dāng)t=

2

-1或t=

7

32

或t=

25

32

或t=1時(shí)，以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)，在（2）題中，一定要根據(jù)相似三角形的不同對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分類討論，以免漏解．