(2008•無錫)如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),試判斷△ABC的形狀,并說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證得四邊形AECD是平行四邊形,只需證明四邊形AECD的兩鄰邊相等即可.根據(jù)AC平分∠BAD,以及CE∥AD,易證得∠EAC=∠ECA,由此可知AE=CE,即四邊形AECD是菱形;
(2)連DE,DE交AC于F,根據(jù)菱形的性質(zhì),對(duì)角線互相垂直且平分有:DE垂直平分AC,則EF是△ABC的中位線,有EF∥BC,則BC⊥AC,由此可證得△ABC是直角三角形.
解答:(1)證明:∵AB∥CD,即AE∥CD,
又∵CE∥AD,∴四邊形AECD是平行四邊形.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE,
∴四邊形AECD是菱形;

(2)解:△ABC是直角三角形.
證法一:∵E是AB中點(diǎn),∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
即∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.

證法二:連DE,由四邊形AECD是菱形,得到DE⊥AC,且平分AC,
設(shè)DE交AC于F,
∵E是AB的中點(diǎn),且F為AC中點(diǎn),
∴EF∥BC.∠AFE=90°,
∴∠ACB=∠AFE=90°,
∴BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),以及三角形中位線的性質(zhì)求解.
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(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中,所有使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值.

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(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中,所有使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值.

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