Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于點(diǎn)M，點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)．

（1）若AB=4，求△DNF的周長(zhǎng)及sin∠DAF的值；

（2）求證：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

（1）解：∵點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

∴EC=DF=×4=2，

由勾股定理得，DE==2，

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)，

∴DN=DE=×2=，

NF=EC=×2=1，

∴△DNF的周長(zhǎng)=1++2=3+；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，

所以，sin∠DAF===；

（2）證明：在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

∴NF是△CDE的中位線，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF==，

cos∠CDE==，

∴=，

∴2AD•NF=DE•DM．