Question

【題目】某公司生產(chǎn)的一種商品其售價(jià)是成本的1.5倍，當(dāng)售價(jià)降低5元時(shí)商品的利潤(rùn)率為25%．若不進(jìn)行任何推廣年銷售量為1萬(wàn)件．為了獲得更好的利益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做推廣，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的推廣費(fèi)x萬(wàn)元時(shí)銷售量y（萬(wàn)件）是x的二次函數(shù)：當(dāng)x為1萬(wàn)元時(shí)，y是1.5（萬(wàn)件）．當(dāng)x為2萬(wàn)元時(shí)，y是1.8（萬(wàn)件）．

（1）求該商品每件的的成本與售價(jià)分別是多少元？

（2）求出年利潤(rùn)與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果投入的年推廣告費(fèi)為1萬(wàn)到3萬(wàn)元（包括1萬(wàn)和3萬(wàn)元），問(wèn)推廣費(fèi)在什么范同內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨推廣費(fèi)的增大而增大？

Answer 1

【答案】（1）該商品每件的的成本與售價(jià)分別是20元、30元；（2）；（3）推廣費(fèi)在1萬(wàn)元到2．5萬(wàn)元（包括1萬(wàn)元和2．5萬(wàn)元）時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)隨推廣費(fèi)的增大而增大．

【解析】

（1）根據(jù)售價(jià)成本價(jià)＝利潤(rùn)，成本價(jià)乘以利潤(rùn)率＝利潤(rùn)，列方程即可求解；

（2）根據(jù)每年投入的推廣費(fèi)x萬(wàn)元時(shí)銷售量y（萬(wàn)件）是x的二次函數(shù)，代入所給數(shù)據(jù)即可求解；

（3）根據(jù)年利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)乘以銷售量再減去推廣費(fèi)即可列出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可確定推廣費(fèi)的取值范圍．

（1）設(shè)該商品每件的的成本為a元，則售價(jià)為元1.5a元，

根據(jù)題意，得

1.5a﹣5﹣a＝25%a，

解得a＝20，則1.5a＝30，

答：該商品每件的的成本與售價(jià)分別是20元、30元．

（2）根據(jù)題意每年投入的推廣費(fèi)x萬(wàn)元時(shí)銷售量y（萬(wàn)件）是x的二次函數(shù)，

設(shè)y＝ax2+bx+c

∵不進(jìn)行任何推廣年銷售量為1萬(wàn)件，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1（萬(wàn)件），

當(dāng)x為1萬(wàn)元時(shí)，y是1.5（萬(wàn)件）．當(dāng)x為2萬(wàn)元時(shí)，y是1.8（萬(wàn)件）．

∴

解得

所以銷售量y與推廣費(fèi)x的函數(shù)解析式為．

所以設(shè)公司獲得的年利潤(rùn)為w萬(wàn)元，

答：年利潤(rùn)與年推廣費(fèi)x的函數(shù)關(guān)系式為w＝10y＝﹣x2+6x+10．

（3）公司獲得的年利潤(rùn)為w萬(wàn)元，根據(jù)題意，得

w＝10y﹣x

＝10（﹣x2+x+1）﹣x

＝﹣x2+5x+10

＝﹣（x﹣）2+

∵1≤x≤3，

∴當(dāng)1≤x≤2.5時(shí)，w隨x的增大而增大，

答：推廣費(fèi)在1萬(wàn)元到2.5萬(wàn)元（包括1萬(wàn)元和2.5萬(wàn)元）時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)隨推廣費(fèi)的增大而增大．