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(2008•江西)如圖1,正方形ABCD和正三角形EFG的邊長都為1,點E,F分別在線段AB,AD上滑動,設點G到CD的距離為x,到BC的距離為y,記∠HEF為α(當點E,F分別與B,A重合時,記α=0°).
(1)當α=0°時(如圖2所示),求x,y的值(結果保留根號);
(2)當α為何值時,點G落在對角形AC上?請說出你的理由,并求出此時x,y的值(結果保留根號);
(3)請你補充完成下表(精確到0.01):
α15°30°45°60°75°90°
x0.030.29
y0.290.130.03
(4)若將“點E,F分別在線段AB,AD上滑動”改為“點E,F分別在正方形ABCD邊上滑動”.當滑動一周時,請使用(3)的結果,在圖4中描出部分點后,勾畫出點G運動所形成的大致圖形.
(參考數據:≈1.732,sin15°=≈0.259,sin75°=≈0.966)

【答案】分析:(1)本題要依靠輔助線的幫助.過G作MN⊥AB于M交CD于N,GK⊥BC于K.求出MG,BM,求出x,y的值.
(2)過G作IQ∥BC交AB,CD于I,Q,過G作JP∥AB交AD,BC于J,P.證明Rt△GEI≌Rt△GFJ,推出∠AEF=∠AFE=45°.得出當α=45°時,點G在對角線AC上.已知∠AEG=105°,∠GEI=75°利用三角函數得出GI,GQ的值后得出x與y的關系.
(3)(4)是根據題意利用三角函數把α值代入可求解.
解答:解:(1)過G作MN⊥AB于M交CD于N,GK⊥BC于K.∵∠ABG=60°,BG=1,∴MG=,BM=.(2分)
∴x=1-,y=.(3分)

(2)當α=45°時,點G在對角線AC上,其理由是:(4分)
過G作IQ∥BC交AB,CD于I,Q,
過G作JP∥AB交AD,BC于J,P.
∵AC平分∠BCD,∴GP=GQ,∴GI=GJ.
∵GE=GF,
∴Rt△GEI≌Rt△GFJ,
∴∠GEI=∠GFJ.
∵∠GEF=∠GFE=60°,
∴∠AEF=∠AFE.
∵∠EAF=90°,
∴∠AEF=∠AFE=45度.
即α=45°時,點G落在對角線AC上.(6分)
(以下給出兩種求x,y的解法)

方法一:
∵∠AEG=45°+60°=105°,
∴∠GEI=75度.
在Rt△GEI中,GI=GE•sin75°=,
∴GQ=IQ-GI=1-.(7分)
∴x=y=1-.(8分)

方法二:當點G在對角線AC上時,有,(7分)
解得
∴x=y=1-.(8分)

(3)
 α 15° 30° 45° 60° 75°90° 
y0.130.030.030.130.290.50
x0.500.290.130.030.030.13
(10分)

(4)由點G所得到的大致圖形如圖所示:
(12分)
說明:1、第(2)問回答正確的得(1分),證明正確的得(2分),求出x,y的值各得(1分);
2、第(3)問表格數據,每填對其中4空得(1分);
3、第(4)問圖形畫得大致正確的得(2分),只畫出圖形一部分的得(1分).
點評:點評:這是一道較好的壓軸題,起點低,思路寬,一改那種“談題色變”的面孔,而且又有較好的區(qū)分度.本題從表面看來是一個針對幾何的相關知識進行考查的問題,但從試題的更深層次來理解,可以看到:在所有動態(tài)幾何問題中,除去由于說理的需要而必須進行相關的合情推理論證及演繹推理外,更多的情況下還會遇到其運動變化過程中相關特殊位置的研究,而對這些特殊位置的研究常常是和幾何問題的量化描述密不可分的,而其量化的描述一般會用到函數、方程或不等式.另外,還強化了對數形結合及用代數方法解決幾何問題能力的考查.
練習冊系列答案
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