Question

如圖，已知四邊形ABCD是面積為a的任意四邊形，順次連接各邊中點(diǎn)得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接各邊中點(diǎn)得到四邊形A₂B₂C₂D₂，重復(fù)同樣的方法直至得到四邊形A_nB_nC_nD_n．
（1）請(qǐng)直接寫出四邊形A₁B₁C₁D₁、A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃的面積（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）根據(jù)以上的規(guī)律寫出四邊形A_nB_nC_nD_n的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線定理，以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得△A₁BB₁的面積=△ABC的面積，△D₁DC₁的面積=△ACD的面積，所以△A₁BB₁的面積+△D₁DC₁的面積=四邊形ABCD的面積，同理可得△A₁AD₁的面積+△B₁CC₁的面積=四邊形ABCD的面積，所以△A₁BB₁的面積+△D₁DC₁+△A₁AD₁的面積+△B₁CC₁的面積=四邊形ABCD的面積，從而得到四邊形A₁B₁C₁D₁的面積=四邊形ABCD的面積，同理可得A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃的面積；
（2）以此類推，根據(jù)后一個(gè)四邊形的面積是前一個(gè)四邊形的面積的，利用此規(guī)律寫出即可．
解答：解：（1）如圖，連接AC，∵A₁、B₁分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴A₁B₁∥AC，且A₁B₁=AC，
∴△A₁BB₁∽△ABC，
∴S_△A1BB1=S_△ABC，
同理，S_△D1DC1=S_△ACD，
∴S_△A1BB1+S_△D1DC1=S_{四邊形ABCD}，
同理可得，S_△A1AD1+S_△B1CC1=S_{四邊形ABCD}，
∴S_△A1BB1+S_△D1DC1+S_△A1AD1+S_△B1CC1=S_{四邊形ABCD}+S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形A1B1C1D1}=S_{四邊形ABCD}=a，
同理可得：S_{四邊形A2B2C2D2}=S_{四邊形A1B1C1D1}=×a=a，
S_A3B3C3D3=S_{四邊形A2B2C2D2}=×a=a；

（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，后一個(gè)四邊形的面積是前一個(gè)四邊形的面積的，
∴四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是：（）ⁿa．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，相似三角形面積的比等于相似比的平方，推出后一個(gè)四邊形的面積等于前一個(gè)四邊形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．