Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D是線段BC上的一動點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．
（1）當點D運動到BC的中點時，DE+DF=

24

5

；
（2）設BD=x，四邊形AEDF的面積為y．
①求y與x的函數關系式；
②問線段DE+DF的長是否隨著D的移動而變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出這一定值．

Answer 1

分析：（1）首先連接AD，由等腰三角形的性質，易求得BD=CD=3，AD⊥BC，繼而求得AD的長，則可求得DE與DF的長；
（2）①首先作AH⊥BC于點H，可求得BH=CH=3，AH=4，然后設BD=x，可表示出DE與BE的長，繼而求得y與x的函數關系式；
②利用三角形的面積，即可求得這一定值．

解答：解：（1）連接AD，
∵AB=AC=5，BC=6，點D運動到BC的中點，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD=

AB2-BD2

=4，
∴DE=

AD•BD

AB

=

12

5

，
同理：DF=

12

5

，
∴DE+DF=

24

5

；
故答案為：

24

5

；

（2）①作AH⊥BC于點H，則BH=CH=3，AH=

52-32

=4，
∴cosB=

3

5

，sinB=

4

5

；
設BD=x，則DE=x•sinB=

4x

5

，BE=x•cosB=

3x

5

，
∴S_△BED=

1

2

•

4x

5

•

3x

5

=

6x2

25

，
同理：S_△CDF=

6(6-x)2

25

，
∴四邊形AEDF的面積=

1

2

×6×4-

6

25

x2-

6

25

(6-x)2=-

12

25

(x-3)2+

192

25

；

②DE+DF的值是定值．
連結AD，則△ABC的面積=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF=

1

2

BC•AH，
∴DE+DF=

4×6

5

=

24

5

．

點評：此題考查了等腰三角形的性質、勾股定理以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．