Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，n），C（m，0），雙曲線y=

12

x

（x＞0）與矩形OABC的兩邊AB、BC分別交于D、E兩點(diǎn)，連接OD、OE、DE，將△DBE沿DE翻折后得△DB′E．
探究一：如圖2，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時，點(diǎn)B′又恰好落在線段OD上，證明：OE平分∠DOC；
探究二：如圖3，若OE平分∠DOC，當(dāng)四邊形DB′EB是正方形時，求矩形OABC的面積；
探究三：如圖4，若點(diǎn)D在直線y=

4

3

x上，是否存在m的值使B′點(diǎn)落在x軸上，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：探究一：證明OE平分∠DOC可轉(zhuǎn)化為證明BE=B'E，即證明E是BC的中點(diǎn)即可，根據(jù)D、E的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式即可證得；
探究二：證明四邊形OABC是正方形，易證△AOD≌△COE，即可求得∠COE=

1

3

∠AOC=30°，則OC和CE的比值是

3

：1，則可利用CE的長表示出E的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求得OC的長，則面積即可求解；
探究三：首先解方程組求得D的坐標(biāo)，作DF⊥OC于點(diǎn)F，則△ECB'∽△B'FD，利用m表示出EB'的長度，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得B′F的長，即可求得DB'，求得AB的長，則E的橫坐標(biāo)即可求得，代入反比例函數(shù)解析式即可求得縱坐標(biāo)．

解答：探究一：證明：∵A（0，n），C（m，0），
∴B的坐標(biāo)是（m，n），
∴D的坐標(biāo)是：（

1

2

m，n），
∵D在線y=

12

x

（x＞0）上，
∴

1

2

mn=12，
又∵E的橫坐標(biāo)是m，把x=m代入y=

12

x

（x＞0），則y=

1

2

n，
∴E是BC的中點(diǎn)，即BE=EC，
又∵B'E=BE，
∴B'E=EC，
∴E在∠DOC的平分線上，即OE平分∠DOC；

探究二：解：設(shè)正方形的邊長是a，則AD=m-a，CE=n-a，
則D的坐標(biāo)是：（m-a，n），E的坐標(biāo)是（m，n-a），
則（m-a）n=m（n-a）=12，
∴m=n．
∴四邊形OABC是正方形．
則△AOD≌△COE，
∴∠AOD=∠COE，
又∵∠DOE=∠COE，
∴∠COE=

1

3

∠AOC=30°，
設(shè)CE=x，則OC=

3

x，
則E的坐標(biāo)是（

3

x，x），代入y=

12

x

得：

3

x²=12，
則x²=4

3

，
則正方形OABC的面積是（

3

x）²=3x²=12

3

；

探究三、解：根據(jù)題意得：

y= 4 3 x y= 12 x

，
解得：

x=3 y=4

或

x=-3 y=-4

（舍去），
則D的坐標(biāo)是（3，4）．
C的橫坐標(biāo)是m，則B的橫坐標(biāo)是m，則BD=B'D=a-3，
在y=

12

x

中，當(dāng)x=m時，y=

12

m

，則CE=

12

m

，BE=B'E=4-

12

m

，
作DF⊥OC于點(diǎn)F．
則△ECB'∽△B'FD，
∴

EC

B′F

=

B′E

B′D

=

4- 12 m

m-3

=

4

m

，
則

12 m

B′F

=

4

m

，
解得：B′F=3，
在直角△DFB'中，DB'=5，
則DB=5，
∴AB=3+5，
∴m=3+8
把x=m=8代入y=

12

x

中得：y=

12

8

=

3

2

．
則E的坐標(biāo)是（8，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確根據(jù)△ECB'∽△B'FD，利用m表示出EB'的長度，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得B′F的長是解本題的關(guān)鍵．