Question

如圖，直線y=-x+b與雙曲線y=（x＞0）交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于E、F兩點，連接OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE．則：①S_△OBF+S_△OAE=    S_△OEF；②b=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據直線解析式求出點E、F的坐標，過點O作OM⊥AB于點M，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立兩函數解析式求解可得y₁=x₂，y₂=x₁，從而判斷出點A、B關于OM對稱，并求出點A的坐標，然后代入雙曲線解析式計算即可得解．
解答：解：①令y=0，則-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，則y=b，
所以，點E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF=b，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
作AN⊥OE于N，
∴AN=NE，△ANE∽△FOE，
∴．
過點O作OM⊥AB于點M，則ME=MF，
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵，
消去y得，x²-bx+1=0，
根據根與系數的關系，x₁•x₂=1，
所以y₁•y₂=1，
所以y₁=x₂，y₂=x₁，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三線合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
∴S_△AOE=S_△AOM=S_△MOB=S_△BOF.．
∴S_△OBF+S_△OAE=S_△OEF，
②∵，
∴，
∴，
∴EN=b，
∴AN=b，
∴ON=b，
∴A（b，b），
∵點A在雙曲線y=上，
∴b×b=1，
解得b=，
故答案為：，．
點評：本題是一道有關一次函數與反比例函數的交點問題試題，考查了運用反比例函數與一次函數的解析式確定交點，聯(lián)立兩函數解析式求解得到OA=OB，然后根據三角形的面積求出點A、B、M是線段EF的四等分點，并求出點A的坐標是解題的關鍵．