Question

（2012•惠山區(qū)一模）如圖，某汽車的底盤所在直線恰好經(jīng)過(guò)兩輪胎的圓心，兩輪的半徑均為60cm，兩輪胎的圓心距為260cm（即PQ=260cm），前輪圓心P到汽車底盤最前端點(diǎn)M的距離為80cm，現(xiàn)汽車要駛過(guò)一個(gè)高為80cm的臺(tái)階（即OA=80cm），若直接行駛會(huì)“碰傷”汽車．
（1）為保證汽車前輪安全通過(guò)，小明準(zhǔn)備建造一個(gè)斜坡AB （如圖所示），那么小明建造的斜坡的坡角α最大為多少度？（精確到0.1度）
（2）在（1）的條件下，汽車能否安全通過(guò)此改造后的臺(tái)階（即汽車底盤不被臺(tái)階刮到）？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）為了保證汽車安全通過(guò)的最大坡角，應(yīng)滿足當(dāng)輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點(diǎn)M恰在斜坡AB上，在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，根據(jù)sin α的值求得α的值即可；
（2）分別求得ON和OC的長(zhǎng)，然后比較大小即可確定能否通過(guò)．

解答：解：（1）如圖1，為了保證汽車安全通過(guò)的最大坡角，應(yīng)滿足當(dāng)輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點(diǎn)M恰在斜坡AB上，
在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，
所以sin α=

PH

PM

=

60

80

=

3

4

，
所以α≈48.5°（此處應(yīng)采用去尾法進(jìn)行近似）  （3分） 
（2）∵

320

3

＜260
∴當(dāng)前輪安全通過(guò)臺(tái)階時(shí)，后輪仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sin α=

4

3

×80=

320

3

，
∴OB=

( 320 3 )2-6400

=

80 7

3

；
∴BN=BH=BM-MH=80-20

7

∴ON=80+

20 7

3

如圖2，假設(shè)底盤與點(diǎn)A相碰，
∵△QAF∽△QPE
∴

QA

PQ

=

AF

PE

，∴QA=65，
∴OC=FQ=

652-202

=15

17

．
∵15

17

＜80+

20 7

3

∴此車可以安全通過(guò)．   （8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坡度坡角問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形并求解．