Question

如果關(guān)于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和等于這兩個(gè)根的倒數(shù)和．
求；（1）k的值；
（2）方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和．

Answer 1

解：（1）設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂，
x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，
∵方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，
解得k≤；
而x₁+x₂=+，
∴（x₁+x₂）（x₁•x₂-1）=0，
∴2k-3=0或k²-3-1=0，
解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，
而k≤；
∴k₁=，k₂=-2；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（2k-3）²-2（k²-3）
=2k²-12k+15
當(dāng)k=，原式=；
當(dāng)k=-2，原式=47．
分析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，根據(jù)題意有x₁+x₂=+，則2k-3=0或k²-3-1=0，解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，而△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，解得k≤；最后得到滿足條件的k值；
（2）先變形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2k-3）²-2（k²-3），然后把（1）中k的值分別代入計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了代數(shù)式的變形．