Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，點E是AB的中點，延長BC到點F使CF=AE．
（1）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點G．判斷AH與ED的位置關系，并說明理由；
（2）求AG的長．

Answer 1

解：（1）AH與ED的位置關系：AH⊥ED．理由如下：
由已知正方形ABCD得AD=DC=2，
AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△CDF．
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°．
由已知得AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED．

（2）由已知AE=1，AD=2，
∵ED=，
∴AE•AD=ED•AG，
即×1×2=××AG，
∴AG=．
分析：（1）AH⊥ED，根據正方形的性質和平移的性質可證明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知條件AH∥DF，利用平行線的性質可證明∠EGH=90°，即垂直成立．
（2）利用勾股定理求出DE的長，再根據三角形的面積公式表示出△EAD的面積即AE•AD或ED•AG，由已知數據即可求出AG的長．
點評：本題主要考查對三角形的面積，正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，勾股定理，垂線等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．