Question

為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經驗發(fā)現(xiàn)；當售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒．

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

（3）為穩(wěn)定物價，有關管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？

Answer 1

【考點】二次函數(shù)的應用．

【分析】（1）根據(jù)“當售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）根據(jù)利潤=1盒粽子所獲得的利潤×銷售量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）先由（2）中所求得的P與x的函數(shù)關系式，根據(jù)這種粽子的每盒售價不得高于58元，且每天銷售粽子的利潤不低于6000元，求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）中所求得的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關系式即可求解．

【解答】解：（1）由題意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；

（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x²+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）²+8000，

∵x≥45，a=﹣20＜0，

∴當x=60時，P_最大值=8000元，

即當每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P（元）最大，最大利潤是8000元；

（3）由題意，得﹣20（x﹣60）²+8000=6000，

解得x₁=50，x₂=70．

∵拋物線P=﹣20（x﹣60）²+8000的開口向下，

∴當50≤x≤70時，每天銷售粽子的利潤不低于6000元的利潤．

又∵x≤58，

∴50≤x≤58．

∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，

∴y隨x的增大而減小，

∴當x=58時，y_最小值=﹣20×58+1600=440，

即超市每天至少銷售粽子440盒．

【點評】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)在實際生活中的應用，主要利用了利潤=1盒粽子所獲得的利潤×銷售量，求函數(shù)的最值時，注意自變量的取值范圍．