Question

已知：如圖，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半徑為1的⊙B經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與x，y軸分交于點(diǎn)A，C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

3

，0)，AC的延長(zhǎng)線與⊙B的切線OD交于點(diǎn)D．
（1）求OC的長(zhǎng)和∠CAO的度數(shù)；
（2）求過(guò)D點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件知道AC是圓的直徑，所以長(zhǎng)度為2，因?yàn)镃的坐標(biāo)已知，所以能求出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AO的長(zhǎng)度，所以可求出角的度數(shù)．
（2）連接OB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)題目所給的條件，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵⊙B經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑，
∴AC=2．（1分）
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

.0），
∴OA=

3

．OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1．（2分）
∴sin∠CAO=

1

2

．
∴∠CAO=30°．（3分）

（2）連接OB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．（4分）
∵OD為⊙B的切線，
∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD
∴OD=OA=

3

．（6分）
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

3

2

．ED=OD•sin60°=

3

2

，（7分）
∵點(diǎn)D在第二象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-

3

2

，

3

2

)．（8分）
設(shè)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

k

x

，則k=(-

3

2

)×

3

2

=-

3 3

4

∴y=-

3 3

4x

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，本題考查了勾股定理的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的運(yùn)用，反比例函數(shù)的確定等知識(shí)點(diǎn)．