Question

已知：△ABC中，∠BAC=120°，D、E在BC上（D在B、E之間），且∠DAE=60°，AD=AE．求證：
（1）DE²=BD•CE；
（2）AB²=BD•BC．

Answer 1

證明：如右圖所示，
（1）∵∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠CEA=120°，
又∵∠BAC=120°，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠B=∠EAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴=，
又∵AD=DE=AE，
∴DE²=BD•CE；

（2）∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，
∴△ABD∽△CBA，
∴=，
∴AB²=BD•BC．
分析：（1）利用∠DAE=60°，AD=AE，易證△ADE是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)易證∠ADB=∠CEA=120°，∠B=∠EAC，從而可證△ABD∽△CAE，于是=，而AD=DE=AE，從而可證DE²=BD•CE；
（2）由于∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，易證△ABD∽△CBA，從而有=，那么有AB²=BD•BC．
點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．