Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連接AN，CM相交于點(diǎn)P，試求∠APM的度數(shù)．

Answer 1

解：如圖，過(guò)A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，則
因?yàn)锳M=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因?yàn)椤螩MB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC為等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因?yàn)椤螷AM=∠B=90°，AK=CN，
所以AK∥CN，
所以四邊形ANCK是平行四邊形，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°．
分析：可過(guò)A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，得△KAM≌△MBC，進(jìn)而由題中條件得出△KMC為等腰直角三角形，再證△AKC≌△CAN，得出∠KCA=∠NAC，即KC∥AN，進(jìn)而可將∠APM轉(zhuǎn)化為∠KCM求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等問(wèn)題，能夠通過(guò)作輔助線在圖形之間建立聯(lián)系，進(jìn)而輔助解題．