Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y＝x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式及點B、C的坐標；

（2）求△ABC的內切圓半徑；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2﹣；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得B,C點坐標；

（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，從而即可求出內切圓的半徑；

（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．

解：（1）∵頂點坐標為（1，1），

∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+1，

又∵拋物線過原點，

∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1，

即y＝﹣x2+2x，

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，

解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

∵A（1，1），

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形．

設△ABC的內切圓的半徑為r，

∴r＝＝；

（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，

由（2）知，AB＝，BC＝3，

∵MN⊥x軸于點N，

∴∠ABC＝∠MNO＝90°，

∴當△ABC和△MNO相似時，有或，

①當時，

∴，即|x||﹣x+2|＝|x|，

∵當x＝0時M、O、N不能構成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|＝，

∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，

此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當時，

∴，

即|x||﹣x+2|＝3|x|，

∴|﹣x+2|＝3，

∴﹣x+2＝±3，

解得x＝5或x＝﹣1，

此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．