Question

在直角坐標系中，正方形ABCD上點B的坐標為（0，2），點C的坐標為（2，1），則點D的坐標為______；若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，點A的對應(yīng)點為A₁，則A₁的坐標為______；再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，得到點C的對應(yīng)點C₁，若重復(fù)以上操作，則點A₅的坐標為______．

Answer 1

設(shè)A點坐標為（a，b），點D的坐標為（c，d），
∵正方形ABCD上點B的坐標為（0，2），點C的坐標為（2，1），
∴正方形ABCD的邊長為

(0-2)2+(2-1)2

=

5

，對角線AC=

10

，
∴

(c-0)2+(d-2)2=( 10 )2 (c-2)2+(d-1)2=( 5 )2

，解得：c=3，d=-3；

(b-2)2+a2=( 5 )2 (a-2)2+(b-1)2=( 10 )2

，解得：a=1，b=4．
故AC所在直線方程為：y=-3x+7，點D的坐標為（3，3）．
（1）若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，點A的對應(yīng)點為A₁，
則A1C=

10

，設(shè)A₁點坐標為（x，y），則（x-2）²+（-3x+7-1）²=（

10

）²，解得：x=3，x=1（舍去），
∴y=-3×3+7=-2，
∴點A₁的坐標為（3，-2）；

（2）再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，得到點C的對應(yīng)點C₁，若重復(fù)以上操作，則點C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅都在AC所在的直線方程上，A₅C=9

10

，
設(shè)A5的坐標為（u，v），則（u-2）²+（-3u+7-1）²=（9

10

）²，解得：u=11，u=-7（舍去），
∴v=-3×11+7=-26，
∴點A5的坐標為（11，-26）．