Question

已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度，沿折線AOCD向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒．
（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APD是直角三角形；
（3）如果另有一動(dòng)點(diǎn)Q，從C點(diǎn)出發(fā)，沿折線CBA向終點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位的速度與P點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形的面積能否為28？如果可能，求出對(duì)應(yīng)的t；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）坐標(biāo)系中線段中點(diǎn)的坐標(biāo)等于線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)和的一半；
（2）分兩種情況，DP垂直AP或PD垂直DA；
（3）利用已知條件可求BC=10，直角梯形COAB的面積=56．假設(shè)P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形的面積為28，由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，用時(shí)2秒，此時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)的點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)B，P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形即為直角梯形COAB，所以t=2秒時(shí)四邊形的面積不能為28．下面分兩種情況分別討論：①t＜2秒；②t＞2秒．

解答：（1）解：∵AO=8，
∴從點(diǎn)D向OA引垂線，垂足為D₁，OD₁=4．從D向OC引垂線，垂足為D₂．OD₂=DD₁=

1

2

（AB+CO）=7．
故D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，7）．
故填（4，7）．（4分）

（2）解：直角三角形即能滿足勾股定理．
則根據(jù)速度公式可得：當(dāng)DP⊥AO，
點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，7）．
∴AP=4，
t₁=1（6分）
利用勾股定理表示出AP₁²=8²+（4t-8）²，AD²=4²+7²
t₂=

89

28

．（8分）

（3）解：存在對(duì)應(yīng)的t，能夠使P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形的面積為28．理由如下：
由于t=2秒時(shí)，P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形即為直角梯形COAB，
所以t=2秒時(shí)四邊形的面積不能為28．
AP=4t，CQ=5t．
下面分兩種情況分別討論：①t＜2秒時(shí)，點(diǎn)P在邊OA上，點(diǎn)Q在邊BC上．
∵四邊形PCQA的面積=28，
∴△POC的面積+△ABQ的面積=直角梯形COAB的面積-四邊形PCQA的面積=28，
∴

1

2

×10×（8-4t）+

1

2

×4×

4(10-5t)

5

=28，
解得t=1．
∵1＜2，
∴t=

25

9

符合題意；
②t＞2秒時(shí)，點(diǎn)P在邊OC上，點(diǎn)Q在邊AB上，四邊形PCQA為梯形．
∵四邊形PCQA的面積=28，
∴

1

2

（18-4t+14-5t）×8=28，
解得t=

25

9

．
∵

25

9

＜

14

5

，
∴t=

25

9

符合題意．
故當(dāng)t=1或

25

9

時(shí)，P、C、Q、A四點(diǎn)圍成的四邊形的面積為28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直角三角形的判定等，注意動(dòng)態(tài)問(wèn)題要考慮全面．