Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作?APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求證：∠EAP=∠EPA；
（2）?APCD是否為矩形？請說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)為BC中點，連接FP，將∠AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌�，得到∠MEN（點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個角對應相等，根據三角形內角和定理，即可證得；
（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，則AC=DP，根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可證明；
（3）可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．
解答：（1）證明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：?APCD是矩形．理由如下：
∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
則AC=PD，
∴?APCD是矩形．

（3）解：EM=EN．
證明：∵EA=EP，
∴∠EPA===90°-α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-α）=90°+α，
由（2）知∠CPB=90°，F(xiàn)是BC的中點，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌龋�得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，

∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，以及矩形的判定方法，在旋轉中找到題目中存在的相等的線段以及相等的角是解決本題的關鍵．